La fonction f est définie sur [0;2] par : f(x) = E(x) + [ x - E(x) ]² où E(x) désigne la partie entière de x 1) Ecrire f(x) sans le symbole E(x) et tracer la co

soit      n ≤ x < n+1,       n ∈ N    l'ensemble des nombre entiers
    =>     E (x) = n
       Soit   x = n + r      ou 
soit  [ x -  E (x) ] =  r ,  la partie décimale du x.
       on sait que   0 ≤  r < 1
       Donc,    0 ≤  r²  < 1

  Soit    g(r) = r² ,  lorsque 0 ≤ r < 1

Quand  0 ≤ x < 1,   E (x) = n = 0. et  x = r , donc,  f(x) = x²  =  f(r) = r²
        C'est dans la forme d'un parabole, passant par l'origine, (1/2; 1/4) et (3/4 ; 9/16).  La limite est le point A (1; 1), mais, la courbe ne touche pas A(1;1),  car  x < 1.  On peut appeler la courbe C₁.

Quand  1 ≤ x < 2,   E (x) = n = 1,   x = 1 + r ,    ou  0 ≤ r < 1.
        Donc,  f(x) = 1 + r²  = 1 + (x - 1)² = 1 + x² - 2 x + 1 = x² - 2 x + 2
       La courbe C₂de f(x) est la courbe de  x² - 2x + 2   pour  1 ≤ x < 2.
       On peut dire aussi que,  la courbe C₂ est la mémé que C₁, mais décalée vers le haut (dans le sens des ordonnées) par un montant 1.

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2)    La definition de la fonction f(x) sans le symbole E(x), en [0 ; 2]  est

   f(x) =    x²  ,    0 ≤ x < 1
         =  x² - 2 x + 2,  1 ≤ x < 2
   On calcule le limite de f(x) par les deux expressions au dessus, quand x s'approche 1.
    [tex] \lim_{x \to 1^-} x^2=1,\ \ \ \lim_{x \to 1^+} (x^2-2x+2)=1-2+2=1\\[/tex]
 
  On sait que les fonctions polynomiales x²,  et  x² - 2x + 2 sont continues dans les zones des leurs définitions.
Car les deux limites sont égales, f(x) est continue  en [0 ; 2].