Bonjour je suis vraiment nul en maths et j'aurai besoin de votre aide pour 3 exo svp ! C'est tres urgent c'est pour demain c'est la dernière note avant l'arrêt

EX 1:
Voyez le dessin.    On marques toutes les angles et sommets et points d'intersections.

     Le triangle ABC est isocèles en A, car  AB = AC = a.   La figure est symétrique par rapport de droit AG passant A, et le bissecteur de l'angle BAC.  Donc, AE = AD.    EG = GD.
      Donc, le triangle AED est isocèle en A.  On trace une perpendiculaire issue de A sur BC et ED.  AG est le médiatrice des triangles  ABC et AED.  Les triangle AFB et AGE sont droits.
    soit    l'angle FBO = y      =>  l'angle BOF = 90 deg - y
 Donc, l'angle GOD = l'angle BOF = 90 - y        car les angles opposées.

Car le triangle GOD est rectangle au G, l'angle GDO = y.     Par symétrie l'angle OFG = y.
          CH = FG  car  BC ||  ED  et   FG || CH.
    On va calculer  la longueur des DG, FG, AF et AG par trigonométrie.

Dans le triangle CHD,    DH = CH Tan x/2
Dans le triangle CHE ,   HE = CH  Cot y

Donc,  DE  =  a  =  DH + HE = CH (Tan x/2 + Cot y)
                   =>    CH =  a / [ Tan x/2 + Cot y]             --- (1)

Dans le triangle CHE,  CH =  CE  Sin y = a Sin y       ---- (2)
         Par (1) et (2) ,     Sin y * [ Tan x/2 + Cot y ] = 1
                  =>  Sin y  Tan x/2 = 1 - Sin y Cot y = 1 - Cos y
                =>   2 Sin y/2  Cos y/2   Tan x/2   =  2 Sin^2 y/2
                =>   Tan x/2 = Tan y/2           =>  x = y    car    x et  y sont les angle aiguës.
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   par (2) ,       FG =   CH =   a Sin x
        Dans le triangle AFB,   AF = a Cos x/2
               AG = AF + FG = a [ sin x + Cos x/2 ]
        Dans le triangle AEG,  AG = EG Cot x/2  = a/2 * Cot x/2
                 =>   Sin x + Cos x/2 =  1/2 * Cot x/2
                =>  2 Sin x/2 Cos x/2  + Cos x/2  = 1/2 * Cos x/2  /  Sin X/2

                =>   4 Sin^2 x/2 + 2 Sin x/2  - 1  =0
        Les solutions sont :    Sin x/2 = [ racine (5)  - 1 ] /2
                           =>  x/2 = 18⁰          => x = 36⁰.

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Ex 2:
N = 99 + 999 + 9999 + 99999 + .... + 9999...  100 chiffres
il y a 99 termes dans la suite.
N = 100 - 1 + 1000 - 1 + 10000 - 1 + .... 10^{100} - 1
    = [100 + 1 000 + 10 000 + ... + 10 000 ... cent zeros ] - 99
   faire 100 - 99.
N = 1 + [ 1 000 + 10 000 +  ...  + 10 000 000...  100 fois le chiffre 0 ]
     = 1 +  1 000 * [ 1 + 10 + 100 + 1 000 + ... +  10 0000...  97 fois le chiffre 0 ]
                     dans le dernier nombre il y a 98 chiffres en totales
     = 1 +  1000 * [ 11111.... 98 fois le chiffre 1 ]
         N = 1 + 111...1111000 ,         il y a 98 chiffre de 1  et trois zéros.

    N = 111...1111001    ,   il y a 99 chiffres de 1   et  2 chiffres de zéro.

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Ex 9
soit le  rayon du quart du cercle grand = R.     Il y a deux demi-cercles tel que ils se coupent.  Le diamètre des demi cercles est égale au rayon du cercle grand.
         le rayon du demi-cercle = R/2.

L'aire d' un demi-cercle = 1/2 * π (R/2)²  = π R² / 8
L'aire du quart du cercle grand = pi  R² / 4
On marque la zone dans le demi-cercle  autre que  A1   comme   A3.   Il y a deux zones de l'Aire 3.
                 A1 + A2 + 2 * A3 = 1/4 * π R²        ---  équation 1
                A1 + A3 =  1/2 * π (R/2)²  = 1/8 * π  R²     --- équation 2
               (1) - (2)  =>         A2 + A3 = 1/8 * π R²      -- équation 3
               (2) - (3) =>    A1 - A2  = 0     => l'Aire1  =  'Aire 2.

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On peut faire les calcules, si on a besoin des aires des zones.
ABC est un triangle rectangle en B.  Les  angle ADB est BDC sont angles inscrit dans demi-cercle.   Donc, elles sont angle droits.   Donc,  ADC est une ligne droite.    D est un point au milieu  du droit AC, car AD = CD par symétrie.  BDC est un triangle rectangle isocèle au D.   BD = DC = AD = le rayon de cercle circonscrit du triangle BDC.  
        Par le théorème de Pythagore, BD = R/√2.

        L'aire du triangle BDC = 1/2 BD * DC = R² /4.         On soustrait l'aire du triangle BDC de l'aire du demi-cercle, pour obtenir l'aire de la zone A1.

 On peut faire la dérivation de l'aire de la zone A1 ou A2  =  (pi - 2) R² / 8
      et             L'aire A3 = R² / 4