pourriez-vous m'aidez pour mon DM : Un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'un
Mathématiques
QSDO
Question
pourriez-vous m'aidez pour mon DM :
Un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre .
Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que :
- le volume contenu soit de 1 litre exactement
- la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale .
1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r .
2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par : A® = 2 * pi * r² + ( 2/ r )
3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [
4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?
Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r
5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?
Je suis bloquée a la question 4
Merci
Un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre .
Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que :
- le volume contenu soit de 1 litre exactement
- la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale .
1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r .
2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par : A® = 2 * pi * r² + ( 2/ r )
3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [
4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?
Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r
5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?
Je suis bloquée a la question 4
Merci
1 Réponse
-
1. Réponse kvnmurty
1. le volume du cylindre V = π r² h = 1 litre = 1000 mL ou cc.
h = 1000 / (π r²) en cm, h et r est exprimé en cm.
2. L'aire totale du cylindre = les deux surfaces plats + la surface latérale
= π r² + π r² + 2 π r h = 2 π r² + 2 π r * 1000 / π r²
A = (2 π r² + 2000 / r ) cm² , r en cm.
3.
A (r) = 2 π r² + 2000 / r
A (r) n'est pas définit pour r = 0. Mais sur l'intervalle ] 0 ; ∞ [ , c'est définit, continue, et dérivable. car 2π r² est dérivable et 2000/r est dérivable.
A' (r) = 2 π (r²)' + 2000* (1/r)' = 2π (2r) + 2000 (-1/r²)
= 4 π r - 2000 / r² = [ 4 π r³ - 2000 ] / r²
4)
A' = 0 pour 4 π r³ = 2000
=> r = (500/π)^1/3 cm = 5,419 cm
A' < 0 pour 0 < r < 5,419 cm. Donc, A(r) est décroissante.
> 0 pour 5,419 cm < r < ∞. Donc, A(r) est croissante.
L'aire totale du cylindre est minimum lorsque le rayon est = 5,419 cm
Dans ce cas, h = 1000 / (π r²) = 10,838 cm = 2 r.
On peut faire aussi comme ci-dessous:
L'aire totale est minimum quand 4πr³ = 2000 cc.
Dans ce cas, A(r) = [ 2π r³ + 4πr³ ] / r. Remplace 2000 par 4πr³.
= 6 π r²
6 π r² = 2 π r² + 2 π r h
=> h = 2 r
=========================
5. r = 5,419 cm et h = 10,838 cm - j'ai déjà fait au dessus.