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Question

AIDEZ MOI S'IL VOUS PLAÎT
On considère un rectangle inscrit dans la surface délimitée par une parabole d’équa-
tion y = x 2 et par la droite horizontale d’équation y = 1.

On note x l'abscisse du coin inférieur droit du rectangle et P l'aire de ce rectangle.

1-Préciser l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable x.

2- L’aire P dépend de la valeur de x. Exprimer P en fonction de x.

3- Étudier les variations de P en fonction de x.

4- Déterminer les dimensions du rectangle lorsque celui-ci a une aire maximale.

Dsl pour la PHOTO sur le côté.

AIDEZ MOI S'IL VOUS PLAÎT On considère un rectangle inscrit dans la surface délimitée par une parabole d’équa- tion y = x 2 et par la droite horizontale d’équat

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1 Réponse

  • 1- x va de 0 à 1 : [0;1]
    2- Si on prend le rectangle de la figure, on voit que sa longueur est 2x et sa largeur est [tex](1- x^{2} )[/tex]
    Donc P= 2x [tex](1- x^{2} )[/tex] = [tex]2x - 2 x^{3} [/tex]

    3 - On calcule la dérivée de P(x) :
    P'(x) = [tex]2 - 6 x^{2} = -6 x^{2} +2[/tex]
    On étudie son signe : [tex]2 - 6 x^{2} = 0
    [tex]2 = 6 x^{2} [/tex]
    [tex] x^{2} = 2/6 = 1/3[/tex]
    donc x = √(1/3)  ou  x = - √(1/3)    cette dernière valeur n'est pas dans l'intervalle de définition [0;1] donc on ne la garde pas ;
    C'est difficile de faire un tableau de signes ou de variation ici, mais donc on a :

    x            0                          √(1/3) = 1/√3 = √3/3                              1

    P'(x)                  +                            0                        -




    P(x)       0            ↑                   P(1/(√3) = 4/3√3            ↓                  0


    P(1/√3) ≈ 0,77


    4- L'aire maximale est donc atteinte pour x=1/√3 = √3/3 , donc les dimensions du rectangle sont :
    2x = 2/√3 = 2√3/3 ≈ 1,15
    et 1-[tex] x^{2} [/tex] = 1-1/3 = 2/3
    Voilà :)

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