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Question


Soit ABCD un carré dont le coté mesure 5cm. On considère un point I sur [AB], puis les points J,K,L sur [BC], [CD] et [DA] tels que AI=BJ=CK=DL. 
On admettra que IJKL est un carré, on se propose de déterminer la position du point I pour que l'aire du carré IJKL soit minimale. 

1) on pose AI = x, et on note f(x) l'aire du carré IJKL 
   
   a) Quel est l'ensemble de définition Df des valeurs possibles de x ? 
Ça j'ai trouvé c'est [0;5]
     
   b) Démontrer que, pour tout réels x appartient à Df f(x)=2x2-10x(25/2)

c) De même que le b) avec f(x)=2(x-(5/2))2+(25/2)
Soit ABCD un carré dont le coté mesure 5cm. On considère un point I sur [AB], puis les points J,K,L sur [BC], [CD] et [DA] tels que AI=BJ=CK=DL. On admettra que

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1 Réponse

  • AI = BJ= CK=DL = x cm
    AB = 5 cm

    a)
             0 <= x <= 5 cm       x ∈ [ 0 ; 5 ]            car  I sur [AB]

    b)
           IJB  est un triangle rectangle au B.
           IJ² = IB² + BJ² = (5 -x)² + x² = x² - 10 x + 25  + x²
                 = 2 x² - 10 x + 25
            IJ est le cote du carré IJKL.
         L'aire du carré  IJKL = IJ² =  2 x² - 10 x + 25    =  f(x)

    c)
           f(x) = 2 (x² - 5 x + 25/2)
                 = 2 [ x² - 2 * x * 5/2 + (5/2)² -  (5/2)² + 25/2 ]
                 =  2 [ (x - 5/2)² + 25/4 ]

    ====================
    Il faut trouver le valeur du x  tel que  le valeur de f(x) est le minimum.

         si x = 5/2,  la partie en carre (x - 5/2)²  est nulle.  Si x ≠ 5/2,  (x-5/2)²  est toujours positif et  donc,  f(x) n'est pas le minimum.

        f(x) est minimum quand x = 5/2.
       le valeur minimale de f(x)   : l'aire du IJKL =  2 [ 0 + 25/4 ] = 25/2 = 12,5 cm²

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