Bon c sa se fameux dm pour 19p

ABCD est un rectangle.  =>    AB = CD  et   DA = BC.
On a     AM = BN = CP = DQ
        CN = BC - BN     ;    AQ = DA - DQ = BC - BN = CN

Dans les triangles rectangles CNP  et  AQM,  la mesure de l'angle C = 90⁰ = la mesure de l'angle A.     AQ = CN     et      CP = AM.      Donc,  les deux triangles sont  congruents.
      Alors,   PN = QM.

Les triangles rectangles   BNM et   DQP  sont  congruents car  BN = DQ,  DP = BM et  l'angle B et l'angle D sont les angles droits.     Donc,  MN = PQ.

Alors,  car les cotés opposes sont égales, le quadrilatérale MNPQ est un parallélogramme.
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2)
   Non.      AB = 6 cm   et    BC = 8 cm
    AM = x = BN = CP = DQ 
      0 <=  AM <= AB         et    0 <=  BN <= BC
          Donc,        0  <=  AM  ou  BN  <= 6 cm
              x  en [ 0 ; 6 cm ]

3)
  L'aire de quadrilatérale = f(x) est maximum quand AM = x = 0.     Car dans ce cas, le parallélogramme MNPQ sera égal au rectangle ABCD.    Donc, le valeur maximum de f(x) = 48 cm².

4)
 L'aire du triangle MAQ = 1/2 * AM * MQ = 1/2 * x (8 - x) 
L'aire du triangle MBN = 1/2 * MB * BN = 1/2 (6 -x) x

  f(x) = l'aire de MNPQ   
 = l'aire du rectangle ABCD - 2* l'aire du triangle MAQ - 2* l'aire du triangle MBN
     = 6 * 8 cm² -  x ( 8 - x) - (6 -x) x
     = 48 - 8 x + x² - 6 x + x²
     = 2 x² - 14 x + 48  =  2 (x² - 7 x + 24 ) 5)

5)
   La fenêtre  d'affichage:    de    x = 0   au x = 6 cm

7)    f(x) = 24  = 2 x² - 14 x + 48
              x² - 7 x + 12 = 0
      =>  (x -3) (x - 4) = 0
      =>   l’antécédent de 24 :     x =   4  ou  3

        f(x) = 36  = 2 x² - 14 x + 48
          x² - 7 x + 6 = 0
       =>  (x -1 ) (x - 6) = 0

   L’antécédent de  36 :   x = 1  ou  6.

8)
    f(x)  est minimum. Quand le valeur de sa dérivée est 0.
   la dérivée =  2* 2x - 14   =  2 (2 x - 7)
      la dérivée est nulle  quand  x = 7/2 = 3,50 cm.
 
    La fonction f(x) = l'aire de parallélogramme.
             elle est minimum lorsque x = AM = 7/2 cm

   L'aire minimale = 2 * (7/2)² - 14 * 7/2 + 48 = 49/2 - 1 = 23,5 cm²