Démontrer que l'équation cos(2x) = x admet une unique solution réelle et déterminer un encadrement d'amplitude 0.01 de cette solution.

f(x)  soit  =  Cos(2x) - x
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x         - π        - π/2        - π/3        - π/4       0         π/8           π/6
f (x)       π       π/2 -1     π/3-0,5         π/4      1     1/√2-π/8     1/2-π/6
f(x)      3,14      0,57        0,54          0,78      1        0,31          -0,023
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x         π/4       π/3       π/2        π
f(x)    - 0,78    -1,53     -2,57     - 2,14
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Le valeur de  Cos(2x) est  toujours entre  -1  et  +1.    la fonction x , est entre -1 et 1 lorsque  -1 <= x <= 1.   Donc, on considéré  l'ensemble  [-1 ; 1 ].

Regarde les valeurs de f(x) = Cos2x - x  aux   x = π/8  et  π/6. 
     f (π/8) = 0,31  et   f (π/6) = - 0,023    Donc,  selon le théorème des valeurs intermédiaires de Bolzano,  f(x) doit égale nul  entre  x = π/8  et  π/6.

  On utilise le règle / la méthode d'approximation de Newton pour calculer le valeur x  pour lequel  f(x) = Cos 2x  - x  =  0.

  f(x₂) = f(x₁) + f '(x₁) * ( x₂ - x₁ ),          f '(x) = - (2 Sin 2x  + 1)
        
On doit trouver x₂  tel que    f (x₂) = 0
           x₂ = x₁ - f (x₁) / f '(x₁)

  On commence avec x₁ = 0.    =>      x₂ =  1 
  On fait encore une itération avec x₁ = 1
       x₂ = [Cos 2 - 1] / [1 + 2 Sin 2 ]  = 0,49756992
  On fait encore une  itération avec  x₁ = 0,49756992
       x₂ =  0,515053653
  Une itération encore  donne : x₂ = 0,51493327
  La prochaine itération  donne : x₂ = 0,514933265

La solution =  x = 0,514933