Trouvez cinq nombres entiers naturels consécutifs tels que la somme des carrés des deux plus grands soit égale à la somme des carrés des trois autres. Peut-on t

Soit n, n+1, n+2, n+3 et n+4 les 5 entiers consécutifs.

On cherche n tel que :

(n+4)²+(n+3)²=(n+2)²+(n+1)²+n²

Soit n²+8n+16+n²+6n+9=n²+4n+4+n²+2n+1+n²

2n²+14n+25=3n²+6n+5

Soit 3n²-2n²+6n-14n+5-25=0

n²-8n-20=0

Δ=8²+4*20=64+80=144

√Δ=12

Les 2 solutions sont n1=(8+12)/2=10 et n2=(8-12)/2=-2

Comme n est positif (car c'est un entier naturel), il n'y a qu'une solution possible : n=10

Les 5 entiers sont donc : 10, 11, 12, 13, 14.

On vérifie : 13²+14²=169+196=365

10²+11²+12²=100+121+144=365

CQFD