f appartient ]0, +infini[ f(x) =(lnx)^2 -lnx a)limites en 0 et + infini b) sa dérivée c) le signe de f'(x) et son sens de variation

je note   ^   pour puissance      et       *   pour multiplier

f(x) =(lnx)² -lnx
a)
limite (lnx)² -lnx   quand x-> 0 ( x>0)   = +OO

limite (lnx)² -lnx   quand x-> +OO  = +OO

b)
dérivée   =>   on utilise la formule n u' u^(n-1)
dérivée de (lnx)² = 2 ln(x) / x
dérivée de ln(x) = 1/x
donc f '(x) =   2 ln(x) / x  -   1/x  =   (2ln(x) - 1) / x

c) signe de la dérivée et variations de f
sur 0 ; +OO  [     x est toujours positif
2 ln(x) - 1>  0         =>    ln(x) > 1/2             =>   x > e^(1/2)
2 ln(x) - 1<  0         =>           x <  e^(1/2)

de ]0 ; e^(1/2)[     f ' (x) de signe négatif
donc f (x) décroissante       (de +OO à -1/4)

de [ e^(1/2) ; +OO[           f ' (x) de signe positif
donc f (x)    croissante  ( de -1/4  à +OO )