20 POINTS HELP ME 1 EXO

u_n = 2 n³ + 1

Algorithme
début
   1.  soit  n = 0
   2.  soit u_n  égale au cube de n.
   3. Multiplier  u_n par 2
   4. ajouter  1  au résultat (ou,  augmenter u_n par 1).
   5. Afficher  les valeurs de  n  et  u_n
   6. ajouter  1  au  n.
   7.  si  n ≤ 10  alors  recommencer  a l'etape 2.
   8. sortir
fin
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n        0    1      2        3      4        5        6      7        8          9        10
u_n    1    3      17      55    129    251   433    687    1025    1459    2001

u_n est une suite croissante.
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u_{n+1} =  2 (n+1)³ = 2 ( n³ + 3 n² + 3 n + 1) + 1
           = 2 n³ + 6 n² + 6 n + 3

u_{n+1} - u_n =  2 n³ + 6 n² + 6 n + 3 - 2 n³ - 1    =  6 n² + 6 n + 2
     pour  tout  n >= 0,  6n² + 6n + 2  ≥ 2.
  Donc  u_{n+1} >  u_n .  La suite est  croissante.
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la fonction cube est toujours croissante en R.
(n+1)³ - n³ = 3 n² + 3n + 1 >  0  pour tout  n >= 0

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u_n = f(n) = 2 * n * n * n + 1,          n ∈ N

si    0 ≤  a ≤  b ,  
         f(b) - f(a) = 2 b³ + 1  - 2 a³ - 1 = 2 (b³ - a³) = 2 (b - a) (b² + ba + a²)
                      >= 0    car  b³ >= a³       et    car  b >= a >= 0
     La fonction f  est croissante  sur  R.
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